Definición
Una ecuación cuadrática o de segundo grado tiene la forma:
\[ax^2 + bx + c = 0\]Donde $a \neq 0$, y $a$, $b$, $c$ son coeficientes reales.
Fórmula General
La solución de cualquier ecuación cuadrática se obtiene con:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]El Discriminante
El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ determina la naturaleza de las raíces:
| Discriminante | Tipo de raíces |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | Dos raíces reales distintas |
| $\Delta = 0$ | Una raíz real doble |
| $\Delta < 0$ | Dos raíces complejas conjugadas |
Ejemplo Resuelto
Resolver: $2x^2 - 5x + 2 = 0$
Identificamos:
- $a = 2$
- $b = -5$
- $c = 2$
Calculamos el discriminante:
\[\Delta = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9\]Aplicamos la fórmula:
\[x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}\]Soluciones:
- $x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2$
- $x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$
Métodos Alternativos
Además de la fórmula general, existen otros métodos:
- Factorización: Cuando las raíces son enteras simples
- Completar el cuadrado: Método derivativo de la fórmula
- Método gráfico: Encontrar intersecciones con el eje x
Aplicaciones
Las ecuaciones cuadráticas aparecen en:
- Física (movimiento parabólico)
- Economía (maximización de beneficios)
- Ingeniería (diseño de estructuras)
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